مدخل إلى الاحتمالات: كيف نحسبها بشكل صحيح؟

مقدمة: كيف نفهم العشوائية بالأرقام؟

تخيل أنك تلعب بالنرد ، وترميه في الهواء متسائلًا: “ما احتمال أن يظهر الرقم 6 على وجهه العلوي؟”

هذا النوع من الأسئلة هو ما يحاول علم الاحتمالات الإجابة عليه، فهو المجال الذي يدرس التجارب العشوائية ويقيس مدى إمكانية حدوث أحداث معينة بناءً على قواعد رياضية دقيقة.

لكن لحظة… هل يمكننا التنبؤ بنتيجة رمية نرد؟
لا، لا يمكننا ذلك! لأن النرد متوازن، وكل وجه لديه نفس الفرصة للظهور. ومع ذلك، يمكننا حساب احتمال ظهور كل رقم!

مثال سريع:
إذا رميت النرد (ر) مرة، وظهر الرقم 6 على الوجه العلوي (و) مرة، فإن الاحتمال التقريبي لظهور 6 يُحسب كالتالي:

ح(أ) = و ÷ ر

حيث أن:

• ح(أ) هو احتمال حدوث الحدث (أ).
• و هو عدد المرات التي حدث فيها (أ).
• ر هو عدد التجارب الكلي.

لكن هذا مجرد حساب تقريبي! لمعرفة الاحتمال النظري، علينا التوسع أكثر… لنكمل!

مفهوم الاحتمالات: كيف نحسبها بشكل صحيح؟

الاحتمال هو طريقة لقياس فرص وقوع حدث معين، ويتراوح دائمًا بين 0 و 1:

• إذا كان احتمال الحدث = 0 فهذا يعني أنه مستحيل.
• إذا كان = 1 فهذا يعني أنه مؤكد.
• إذا كان بين 0 و 1 فهو احتمال نسبي بناءً على العشوائية.

تعريف رياضي دقيق:
يُطلق مصطلح “الحدث” على أي مجموعة من النتائج ضمن الفضاء العيني (Ω)، وهو مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية.

مثال:
في تجربة رمي نرد، لدينا فضاء العينة (Ω) التالي:
Ω = { 1، 2، 3، 4، 5، 6 }

إذا كان الحدث (أ) يمثل ظهور رقم زوجي، فسيكون:
أ = { 2، 4، 6 }

أما الحدث (ب) وهو ظهور رقم فردي:
ب = { 1، 3، 5 }

حساب الاحتمالات:
بما أن كل رقم لديه فرصة متساوية للظهور:

ح(أ) = عدد عناصر أ ÷ عدد عناصر Ω = 3 ÷ 6 = 1 ÷ 2

ح(ب) = عدد عناصر ب ÷ عدد عناصر Ω = 3 ÷ 6 = 1 ÷ 2

لاحظ أن:
ح(أ) + ح(ب) = 1

وهذا منطقي لأن كل رقم على النرد إما زوجي أو فردي، ولا يوجد احتمال آخر!

الخصائص الأساسية للاحتمالات

لكي يكون أي نموذج احتمالي منطقيًا ومتسقًا رياضيًا، يجب أن يحقق القواعد التالية:

الاحتمال دائمًا بين 0 و 1:
0 ≤ ح(أ) ≤ 1

إذا كان الحدث هو الفضاء العيني كله (أي أن وقوعه مؤكد)، فإن احتماله = 1:
ح(Ω) = 1

إذا كان لدينا حدث مستحيل (أي لا يمكن حدوثه أبدًا)، فإن احتماله = 0:
ح(Ø) = 0

إذا كانت لدينا مجموعة من الأحداث غير المتداخلة، فإن احتمال اتحادها يساوي مجموع احتمالاتها:
ح(أ ∪ ب) = ح(أ) + ح(ب) – ح(أ ∩ ب)

ملاحظة:
إذا كان الحدثان غير متداخلين (أي لا يمكن أن يحدثا معًا)، فإن:
ح(أ ∪ ب) = ح(أ) + ح(ب)

الاحتمالات المشروطة: عندما يرتبط حدث بآخر

كيف نحسب احتمال حدوث حدث معين عندما نعلم أن حدثًا آخر قد وقع بالفعل؟

تعريف:
إذا كنا نريد حساب احتمال وقوع الحدث (أ) مع العلم أن (ب) قد حدث، فإننا نستخدم الاحتمال الشرطي، ويُحسب كالتالي:

ح(أ | ب) = ح(أ ∩ ب) ÷ ح(ب)

مثال توضيحي:
افترض أن لدينا كيسًا يحتوي على:

• 4 كرات حمراء
• 6 كرات زرقاء

إذا سحبنا كرة بشكل عشوائي، فما احتمال أن تكون حمراء، مع العلم أننا نعرف أنها ليست زرقاء؟

الحل:

• فضاء العينة الأصلي: 4 + 6 = 10
• احتمال سحب كرة حمراء بدون معلومات إضافية:
  ح(حمراء) = 4 ÷ 10 = 0.4
• لكن بما أننا نعلم أنها ليست زرقاء، فهذا يعني أن الفضاء المتبقي هو فقط الكرات الحمراء.
• وبالتالي، الاحتمال المشروط:
  ح(حمراء | ليست زرقاء) = 4 ÷ 4 = 1

بمعنى أنه إذا كنا متأكدين أن الكرة ليست زرقاء، فلا بد أنها حمراء بنسبة 100%!

قاعدة بايز: عندما تتغير الاحتمالات بالمعلومات الجديدة

قاعدة بايز هي من أهم القوانين في علم الاحتمالات، وتستخدم لتحديث الاحتمالات عند توفر معلومات جديدة.

ح(أ | ب) = (ح(ب | أ) × ح(أ)) ÷ ح(ب)

مثال عملي:
إذا كانت نسبة المصابين بمرض معين 5%، ولكن اختبارًا معينًا يكشف المرض بنسبة دقة 90%، فكم احتمال أن يكون الشخص مريضًا فعلًا إذا جاءت نتيجة الاختبار إيجابية؟

هنا نستخدم قاعدة بايز لحساب الاحتمال بناءً على المعلومات الجديدة!